Geometrie - 5 Aufgaben

  • Benötige Hilfe

  • Mr. Anderson
  • 4218 Aufrufe 9 Antworten

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  • Geometrie - 5 Aufgaben

    Moin :)

    Ich hab hier ein paar angesammelte Aufgaben, bei denen ich einfach nicht weiter komme.

    Bei allen kann ich zwar immer etwas machen, aber ganz zur Lösung komm ich dann doch nicht.

    Würd mich freuen wenn ihr mir da n bisschen helfen könntets. ;)


    8. Beweisen Sie: Unter allen umfangsgleichen Rechtecken besitzt das Quadrat den größten Flächeninhalt. (Beachten Sie, dass beim Höhensatz die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks mit dem halben Umfang des Rechtecks übereinstimmt.)


    3. Konstruieren Sie ein Dreieck, von dem Sie die drei Seitenhalbierenden kennen: Sa = 7 cm, Sb = 7,8 cm, Sc = 6 cm (mit Planfigur, Plan und Konstruktionsbeschreibung).

    4. In einem gleichschenkligen Dreieck ABC sei D ein beliebieger Punkt der Basis AB. Beweisen Sie den Satz: Die Umkreise der Dreiecke ADC und DBC haben einen gleich langen Radius.

    5. In einem Kreis k sind zwei sich nicht schneidende Sehnen gleicher Länge eingetragen. Die Geraden g und h gehen durch die Endpunkte der Sehnen und schneiden sich im Kreisinnern. Zeigen Sie, dass die Größe des Winkels w(g, h) konstant ist, d.h. von der Lage der Sehnen unabhängig ist.

    7. Vergleichen Sie in einem gleichschenkligen Trapez mit Inkreis die Mittelparallele mit den Schenkeln.


    Meine bisherigen Rechnungen dazu hab ich jetzt mal nicht gepostet, da das zuviel wäre. ;)

    mfg
    neo

  • 8: U = 2(a +b) => b = (U-2a)/2
    A(a) = a*b = a*(U-2a)/2 = (-2a^2+Ua)/2
    => A'(a)= (-4a+U)/2 für A'(a) = 0 folgt a = U/4 (absol. Extremum, da Parabel)
    Das heißt A(a) ist max. für a = U/4 und b = U/4 => a=b => Quadrat

    4: Folgt direkt unter Betrachtung des Sinussatzes:
    AC:sin(CDA) = 2r_1
    BC:sin(BDC) = 2r_2
    Da CDA = 180°-BDC ist r1 = r2

    (hoffe ich hab jetzt keine Winkelbezeichnungen durcheinander gebracht)

  • also 8
    da musste ne funktion aufstellen, umfang soll gleich sein, d.h. x+y=konstant wie sähe sone funktion aus, wäre ne gerade, die diagonal von einem punkt auf der y achse zum selben punkt auf der x achse geht
    y=-x+1
    hier mit umfang 2
    dazu weißte
    y*x=A
    wobei A der flächeninhalt ist du hast 2 funktionen, somit kannste eine unbekannte eliminieren, dann haste die fläche in abhängigkeit, von x unnu musste noch schaun wo die fläche den höhepunkt hat
    kannste natürlich auch noch allgemeiner machen, indem du das ganze nicht für umfang 2 machst, sondern für umfang u, dann bekommste halt u/4 als endergebnis für x raus

    hmm, aufgabe 3 ist kniffliger, also was du da eventuell verwenden könntest, ist, dass der schwerpunkt die seitenhalbierenden im verhältnis 2:1 teilt, mit schwerpunkt ist der punkt gemeint, durch den alle 3 seitenhalbierende durchgehen. eine seitenhalbierende kannste fest einzeichnen, und die anderen müssen aneinander angeglichen werden, blöde ist, du hast da 2 unbekannte drin, also die ausrichtungen von den beiden anderen. wüsste gerade nicht, wie man das lösen könnte, ausser durch annähern...

    bei aufgabe4
    da kann was nicht stimmen
    also gut gleichschenkliges dreieck, AC und BC sind gleich lang. D liegt irgendwo auf AB nehmen wir jetzt mal an, d liegt auf A direkt. dann wäre der umkreisradius die hälfte der strecke zwischen AC und der soll dann genauso lang sein wie der umkreisradius des gesammten dreiecks? der ist länger, da dazu noch nen 3. punkt kommt
    oder ich hab die aufgabe nicht verstanden ...

    da muss man noch ne weile überlegen, mach ich eventuell später noch

  • Die Aufgaben 3,4 und 7 hab ich jetzt, 7 ist eigentlich ganz einfach wenn man mal den Sinn verstanden hat. :D

    Aufgabe 8 hab ich noch nicht angeschaut, verzweifel grad mal wieder an Aufgabe 5. :P

    Weil der Winkel (g;h) ist ja immer gleich, egal wie man die Sehnen dreht, ich kann nur noch nicht herleiten warum das so ist.
    Vmtl hilft es wenn ich die beiden Sehnen an einem Ende miteinander verbinde, die haben dann ja den gleichen Winkel zu der Hilfsgeraden.
    Aber weiter bin ich da auch noch nicht. :(

    Schon mal danke für eure Hilfe! :knu:

    mfg
    neo

    //edit:

    Aufgabe 5 habe ich jetzt auch noch, eigentlich total leicht, wenn man es richtig anschaut. :D

    Bei Aufgabe 8, gibt es da auch noch eine Möglichkeit das ganze iwie geometrisch zu lösen oder zumindest ohne Funktion?

    mfg
    neo

  • Da hier ja eh nicht die Beiträge gezählt werden zur Übersicht einen neuen Post.

    Ich hab die 8. jetzt mal zusammengefasst, so das ich sie auch verstehe. :D

    Nur, ist das jetzt ein Beweis?
    Weil ich muss es ja beweisen.

    8. Die Fläche ist beim Quadrat von allen Rechtecken bei gleichem Umfang am größten, da dabei alle Seiten gleich lang sind. Wäre eine Seitenlänge gleich 0, wäre die Fläche auch gleich 0. Je länger die Seite wird, umso größer wird die Fläche. Dem entgegen steht aller-dings die andere Seite, da deren Länge aufgrund des Umfangs gleichzeitig abnimmt und bei der genau das gleiche gilt, dadurch ist die Fläche am größten, wenn beide Seitenlängen gleich groß sind.

    Wenns ein Beweis ist, dann passts, wenn nicht dann bräucht ich noch irgend ne Lösung die ich verstehe. :(

    mfg
    neo

  • Das Über-Ich hat das schon völlig richtig und schön zusammengefasst:

    Formel für Flächeninhalt eines Rechtecks
    I A(a, b) = a*b
    Formel für Umfang eines Rechtecks
    II Ur = 2(a + b)

    II stellst du jetzt nach b um:
    Ur = 2a + 2b
    Ur - 2a = 2b
    b = 0.5Ur - a

    Dann setzt du den Term von b in I ein und erhälst folgende Gleichung zur Berechnung deiner Fläche:

    A(a) = a * (0.5Ur - a)
    A(a) = 0.5Ur*a - a^2

    Das graphisch dargestellt sieht wie folgt aus:


    Mathematisch kannst du die Aufgabe jetzt als Extremwertaufgabe sehen, also bei welchem a-Wert ist A am maximalsten.

    Dazu bildest du die erste Ableitung von der Funktion zur Berechnung des Flächeninhaltes.

    III A'(a) = 0.5Ur - 2a

    Jetzt berechnest du bei III die Nullstellen, denn die Nullstellen der 1. Ableitung sind die Extremstellen der Stammfunktion.

    0 = 0.5Ur - 2a
    2a = 0.5Ur
    a = 0.25Ur

    Im Endeffekt musste noch einen Nachweis für den Hochpunkt erbringen:
    A''(a) = -a
    A''(0.25Ur) = -0.25Ur
    Da das Erbenis negativ ist hast du immer einen Hochpunkt bei deinem Flächeninhalt.

    Jetzt fehlt nur noch der Antwortsatz.

    "Bei a = 1/4Ur ist der Flächeninhalt des Rechtecks maximal. Da a = 1/4 Ur nur beim Quadrat zutrifft ist die Aussage bewiesen."

    mfg
    tischler

    So jetzt fehlt nur noch der Antwortsatz

    ~~~edit~~~
    Das Bild ist nur 11kb groß, kann doch drinne bleiben...

  • Mr, Anderson schrieb:

    Da hier ja eh nicht die Beiträge gezählt werden zur Übersicht einen neuen Post.
    8. Die Fläche ist beim Quadrat von allen Rechtecken bei gleichem Umfang am größten, da dabei alle Seiten gleich lang sind. Wäre eine Seitenlänge gleich 0, wäre die Fläche auch gleich 0. Je länger die Seite wird, umso größer wird die Fläche. Dem entgegen steht aller-dings die andere Seite, da deren Länge aufgrund des Umfangs gleichzeitig abnimmt und bei der genau das gleiche gilt, dadurch ist die Fläche am größten, wenn beide Seitenlängen gleich groß sind.

    mfg
    neo


    also das ist leider kein Beweis. AFAIK gibt es für dieses Problem eine Lösung die keine Differentialrechnung braucht (per Ungleichung, nutzt AM >= GM), ich kann sie aber irgendwie z.Z nicht mehr herleiten und vor allem ist die Lösung mit Differentialrechnung bei weitem die eleganteste.

  • Jetzt habs sogar ich kapiert. :)

    Weiß net, mit Funktionen hab ich immer meine Schwierigkeiten.

    Vielen Dank nochmals an euch beide, insbesondere für die ausführliche Erklärung. ;)

    :danke:

    Kann dann geschlosen werden.

    mfg
    neo

  • Dafür braucht man keine Integralrechnung.

    Einfach die Gleichung der Parabel in die Scheitelpunktform umwandeln und man hat den Extremwert. Für Parabeln ist das kein Problem.

    und closed