dlau schrieb:

Kann mir einer sagen, was Infenitesimalrechnung ist?

Infinitesimalrechnung
(ca. 68 Std.)

1 Messbarkeit von Flächen, Berechnung von Flächeninhalten, Begriff des bestimmten Integrals
(ca. 16 Std.)

Die im Geometrieunterricht der Unter- und Mittelstufe durchgeführten elementaren Flächenmessungen gingen von einem anschaulich motivierten Inhaltsbegriff aus. Die Schüler erkennen nun anhand geeigneter Beispiele, dass das Konzept des Flächeninhalts neu überdacht werden muss, wobei die intuitiv vorausgesetzten Eigenschaften als Richtschnur dienen. Diese Überlegungen führen zum Begriff des bestimmten Integrals, mit dessen Hilfe die Schüler krummlinig begrenzte Flächen zu berechnen lernen und damit erneut die Tragweite des Grenzwertbegriffs der Infinitesimalrechnung erfahren. Auf die geschichtliche Entwicklung der Integralrechnung soll im Unterricht eingegangen werden.

- Messbarkeit von Flächen
- Axiome des Flächeninhalts: Nichtnegativität, Normiertheit, Additivität
- Berechnung von Flächeninhalten durch Grenzprozesse
- Streifenmethode, auch mit verschieden breiten Streifen;
Hinweis auf die Zerlegungsinvarianz des Flächeninhalts;
Abschätzungen von Flächeninhalten,
z. B. mittels Tabellenkalkulation
- das bestimmte Integral als Grenzwert von Summenfolgen;
Eigenschaften des bestimmten Integrals
- Begriffe: Untersumme, Obersumme;
Integrand, Integrationsintervall;
Deutung des bestimmten Integrals als Flächenbilanz;
Linearitätseigenschaften

2 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und seine Anwendung
(ca. 16 Std.)

Bei stetigen Integranden ermöglicht die Differentialrechnung in zahlreichen Fällen die Auswertung bestimmter Integrale, wofür der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung die Grundlage bietet. Die Schüler sollen an dieser Stelle erneut erfahren, wie erfolgreich die Infinitesimalrechnung gerade auch zur Lösung anspruchsvoller Probleme eingesetzt werden kann. Anhand anwendungsbezogener Beispiele wird sich die praktische Bedeutung des Hauptsatzes deutlich herausstellen.

- Integralfunktion;
der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- Beweis des Hauptsatzes;
Integration als Umkehrung der Differentiation
- Stammfunktion und Berechnung des bestimmten Integrals mit Hilfe einer Stammfunktion;
- unbestimmtes Integral
- Stammfunktionen von
- Abgrenzung der Begriffe Integralfunktion, Stammfunktion, unbestimmtes Integral
- Anwendungen
- insbesondere Berechnung von Flächeninhalten;
auch Volumenberechnungen einfacher Rotationskörper
- Anstatt mit der Berechnung von Flächeninhalten zu beginnen, kann man auch die Stammfunktion an den Anfang stellen.

3 Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen,
ihre Behandlung mit den Mitteln der Infinitesimalrechnung
(ca. 26 Std.)

Die Untersuchung der Integralfunktion von zur unteren Grenze 1 zeigt, dass diese Funktion die typischen Eigenschaften der schon aus der Mittelstufe bekannten Logarithmusfunktionen hat. Die natürliche Exponentialfunktion wird als Umkehrfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion definiert; daraus ergeben sich ihre Eigenschaften. Logarithmusfunktionen und Exponentialfunktionen spielen bei der Beschreibung vieler Probleme aus so unterschiedlichen Bereichen wie etwa Naturwissenschaften, Wirtschaft und Soziologie eine wichtige Rolle; davon sollen sich die Schüler anhand zahlreicher Beispiele überzeugen (Pfeil rechts BO).

- die natürliche Logarithmusfunktion und ihre Eigenschaften;
- die Integralfunktion
- schrittweise Begründung für das Vorliegen einer Logarithmusfunktion;
- die Eulersche Zahl e
- Definition von e durch Leonhard Euler (1707 - 1783)
- Grenzwertdarstellung für die Zahl e
- Hinweis auf weitere Berechnungsmöglichkeiten sowie auf die Irrationalität und die Transzendenz von e
- Umkehrfunktionen und ihre Ableitung

Wiederholung der Begriffe Umkehrbarkeit einer Funktion und Umkehrfunktion;
Satz von der Ableitung der Umkehrfunktion und sein Beweis;
Hinweis auf die Ableitung der Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten

- die natürliche Exponentialfunktion als Umkehrfunktion der ln-Funktion; Eigenschaften der e-Funktion
- Herleitung der Eigenschaften aufgrund des Zusammenhangs mit der ln-Funktion
- allgemeine Exponentialfunktionen bzw.
Logarithmusfunktionen
- Darstellung mit Hilfe der e-Funktion bzw. der ln-Funktion;
Ableitung und Integration von ,
- Aufgaben und Anwendungen
- Kurvendiskussionen;

4 Rationale Funktionen*
(ca. 10 Std.)

Mit den gebrochenrationalen Funktionen lernen die Schüler Funktionen kennen, bei deren Untersuchung die bisherigen Kenntnisse und Arbeitstechniken aus der Infinitesimalrechnung auf vielfältige Weise zum Einsatz kommen. Dies gilt insbesondere für anspruchsvollere Kurvendiskussionen. Dabei sollen die Schüler einen Einblick in die zahlreichen interessanten Anwendungsmöglichkeiten rationaler Funktionen in Naturwissenschaft und Technik erhalten.

- rationale Funktionen und ihre Eigenschaften;
Kurvendiskussionen
- Definitionsmenge;
- Stetigkeit und Differenzierbarkeit;
- Verhalten an den Definitionslücken und im Unendlichen;
- stetige Fortsetzung, Polstellen, Asymptoten;
- Integration in einfachen Fällen
- Anwendungen rationaler Funktionen in Naturwissenschaft und Technik